La peur de l'abstrait

Une fois de plus j'observe cette année un curieux phénomène dans l'approche qu'ont mes élèves des mathématiques. J'enseigne en ce moment un cours sur les équations différentielles. Une première partie de ce cours est consacrée aux méthodes classiques de résolution. On y apprend à construire des solutions des équations différentielles sous forme de séries ou d'intégrales de Fourier. J'ai observé que, petit à petit, après quelques premières séances, les élèves prennent confiance et assimilent relativement bien le cours.

Mais voilà que, depuis deux semaines, nous avons abordé une deuxième partie du cours, consacrée à la théorie des distributions. Une théorie qui permet d'avoir un regard plus global sur la notion de la dérivée et sur les équations différentielles. Il s'agit de changer de formalisme. De remplacer le cadre d'analyse classique, basée sur la notion de la limite en un point, par celui de l'analyse fonctionnelle qui permet de travailler avec les outils de topologie des espaces vectoriels.

Et là, j'ai senti un changement radical dans l'attitude des élèves vis à vis du cours. J'ai l'impression que le fait d'évoquer un formalisme plus abstrait provoque chez eux un refus d'adhésion, un blocage. Je sens qu'ils ne veulent pas me suivre dans cette nouvelle voie. Mais pourquoi?

A première vue, on pourrait dire que ce qui est abstrait a pour premier effet de repousser l'esprit. En effet, faire abstraction de la nature physique ou autre des objets et des phénomènes étudiés nous prive de nos repères sensoriels, de nos intuitions empiriques. Cela peut ressembler au fait d'être privé de vue brusquement pour quelqu'un qui voit. Mais ces mêmes repères, ces intuitions empiriques, le plus souvent inconscientes, nous empêchent souvent de voir au-delà de ce qui est palpable.

Or, c'est en faisant l'abstraction de la nature des objets que nous libérons notre pensée pour voir enfin les similitudes, les généralités et les propriétés communes dans les choses très différentes. Par exemple, une fonction mathématique permet de représenter toute relation, toute correspondance. Ainsi, la distance qui me sépare du point d'arrivée lors d'une promenade et la température de l'air dans une pièce sont des fonctions. Alors la vitesse de marche ou les variations de la température sont des dérivées des fonctions respectives et obéissent aux mêmes lois mathématiques, peuvent être analysées selon les mêmes règles de raisonnement.

Certes, l'abstraction demande un effort intellectuel et un temps d'adaptation, pendant lequel notre esprit crée de nouveaux repères nous permettant au final d'être à l'aise dans ce nouveau monde, peuplé de concepts au lieu d'objets palpables. Une fois cette adaptation passée, nous ne nous apercevons même pas que nous manipulons certains objets abstraits. Ainsi, mes élèves qui trouvent les distributions "trop abstraites" ne réalisent même plus que les fonctions, les dérivées, les séries sont des notions abstraites. Elles leur sont si familières, qu'elles passent pour presque réelles.

Donc ce n'est pas l'abstrait en soi qui repousse, c'est probablement cette phase intermédiaire d'adaptation, pendant laquelle on a l'impression de plus rien comprendre.

Enseigner et donc apprendre ce qui est abstrait est aussi plus difficile. Il ne suffit pas de répéter, mimer ce qui est dit par l'enseignant, comme on apprend une méthode de résolution d'un certain type de problèmes. Il ne suffit pas d'apprendre par coeur, comme on apprend la table de multiplication ou une formule. Pour s'approprier un nouveau niveau d'abstraction l'élève doit faire le chemin tout seul. Le rôle du professeur est de l'accompagner, lui indiquer la marche à suivre, dégager la route. Tant que la construction intérieure de l'abstraction n'est pas véritablement faite, on reste devant les mathématiques comme devant un tableau abstrait: on ne voit vraiment pas ce que toutes ces couleurs sont sensées représenter. On ne peut le voir que si on a réussi à parcourir le même chemin d'abstraction que l'artiste.

Moi en compote à ramasser à la petite cuillère

Parfois l'enseignement est une activité terriblement éprouvante, physiquement.

Eh, oui! A première vue, on n'a pas l'air de se dépenser beaucoup, quand on est prof: on cause, on se promène gentiment entre les rangs. Et pourtant, il m'est arrivé plus d'une fois de finir une journée de cours complètement vidée, sans aucune force, comme si j'avais passé la journée à charger du charbon. Comment en arrive-t-on là?

Quand on fait un cours, il faut beaucoup d'énergie pour créer et maintenir une présence, pour pourvoir exister même pour les quelques élèves perdus au fond de la classe. Cet effort est invisible mais il est bien réel. Celui qui a déjà fait un cours en essayant de tenir la classe, le sait.

Quand votre public est suffisamment réceptif, quand il accepte de vous suivre, il vous faut juste un minimum d'énergie pour donner aux élèves l'impulsion nécessaire. Mais quand, au contraire, pour une raison ou une autre, la classe est ailleurs, elle ne veut pas savoir ce qu'on lui raconte, elle se transforme en une masse inerte et sourde, impossible à bouger. C'est là que le prof perd toute son énergie!

Vendredi dernier, j'en ai eu une n-ème illustration. Rien de plus difficile qu'une classe d'élèves fatigués par une journée chargée, à la fin d'une semaine bien remplie. Malgré la bonne humeur générale dans le groupe, l'épuisement et le relâchement général était bien perceptible. Et il fallait pourtant bien qu'on arrive à travailler encore 1h30 et sur des sujets pas très faciles. Au milieu de la séance je me suis même demandé si j'allais moi même tenir jusqu'au bout: je sentais mes forces m'abandonner littéralement.

On s'en est sorti tout de même, les élèves et moi. Mais il m'a fallu un week-end entier pour m'en remettre. Et c'est reparti pour un tour!

La motivation: la bonne vielle histoire de la poule et de l'oeuf.

Qui doit motiver qui? Est ce que professeur de motiver ses élèves? Est ce aux élèves de motiver leur professeur? 

J'ai très souvent entendu mes élèves dire, avec un soupir  de héros fatigué : "Je ne viens plus à tel cours, parce que je ne suis pas motivé" ou "Je ne fais pas mes devoirs de maths parce que ce n'est pas motivant" ou" je n'ai pas appris mon cours pour la colle parce que c'est difficile et que je ne suis pas motivé" etc, etc. Et quelles sont les raisons d'une telle démotivation? Selon le cas, on trouve des variantes, mais essentiellement,  ce sont toujours les mêmes motifs: 

• pas intéressant
• difficile (je n'ai pas l'habitude de travailler autant)
• trop abstrait
• on ne voit pas à quoi ça sert
• je n'ai pas compris au début, alors maintenant je suis largué
• moi, je veux la moyenne, alors pas besoin d'en faire autant 

Et presque toujours : "C'est la faute au prof!". 

D'un autre coté, il m'est arrivé maintes fois de voir un prof sortir de sa classe épuisé, abattu presque, désespéré, vidé. Moi même, j'ai vécu cela plusieurs fois. Rien de si difficile qu'affronter une classe qui ne veut pas apprendre ce que vous lui racontez. Un mur, droit, dur, froid devant vous. Si on n'arrive pas à le briser, on en sort pressé comme un citron. Et pas très envie d'y retourner le lendemain! "Ces élèves ne me donnent plus envie de travailler!". 

Pourquoi? On pourrait se dire que dans l'enseignement supérieur, dans une classe prépa ou une école d'ingénieur on ne devrait pas observer ces situations. On ne devrait plus du tout se préoccuper des motivations des uns et des autres. Car, normalement, l'élève qui se trouve sur les bancs d'une école d'ingénieur ou d'une faculté, y est par choix. S'il est vrai que le primaire et le collège sont obligatoires, l'élève ne choisit pas d'y aller, la poursuite des études est un acte de choix de sa part. il est donc sensé avoir naturellement un objectif à atteindre; son choix est en soi une motivation suffisante pour travailler, franchir les difficultés, prêter de l'intérêt aux matières enseignées. 

Cependant, si l'on regarde de plus près, les choses ne sont pas aussi simples.  Ce que l'on considère comme un choix de formation  est plutôt dans la plupart des cas un pari sur son futur. L'étudiant fait un pari que telle ou telle formation lui plaira et assurera un bon métier plus tard. Il ne choisit pas de faire des maths, des probas, de la programmation etc. Il ne peut pas car les contenus des cours proposés ne signifient pas grand chose pour lui au moment où il se décide pour sa formation. 

Alors, une fois dedans, il peut être normal que l'élève pose la question: mais pourquoi dois je apprendre ceci ou cela? La réponse standard pour les maths consiste à dire: "Il faut faire des maths parce qu'un ingénieur doit être fort en maths". Cela  aura un certain effet de déjà vu. L'élève en retiendra que "pour être chef, il faut avoir fait des maths". Chez les primates, le mal dominant tape régulièrement sur tout ce qui bouge pour montrer aux concurrents qu'il est le plus fort. Chez les homo sapiens civilisés, l'ingénieur dit :"Moi, j'ai fait des maths en prépas et en école d'ingénieur, et j'ai survécu! Je suis plus fort que toi!". 

Ce genre d'arguments, aide à subir les cours et les examens  mais ne motive pas trop à apprendre. Il serait donc justifié de la part des enseignants d'investir dans la recherche de moyens pédagogiques favorisant l'intérêt réel pour leur cours. 

D'un autre coté, un certain esprit de consumérisme vis à vis des études se repend de plus en plus chez les étudiants et au moment où ils arrivent dans une école d'ingénieur il devient très difficile de le surmonter. A tel point, que les profs les plus passionnés en viennent à baisser les bras parfois devant l'argument massue : "A quoi bon me casser la tête à comprendre si ça ne fait que 2 points dans un examen?! j'aurai la moyenne quand même!".  Pour éviter ce genre de répliques, un effort de prise de conscience par l'étudiant lui même sur ce qui est en train de faire là, dans cette école, est une condition minimum pour sa réussite. 

Si l'on considère l'enseignement non pas comme une communication à sens unique (professeur->élève) mais comme un échange, la question de motivation trouve sa solution. Dans cet échange, chaque partie a ses propres objectifs mais chacun doit être conscient d'un intérêt commun: faire en sorte que l'échange dure le temps nécessaire pour atteindre les objectifs. Alors chaque partie a intérêt à nourrir, soutenir, relancer l'échange. Chaque partie, professeur et l'élève, a donc intérêt à "motiver" l'autre. Cela suppose tout de même quelques conditions: une prise de recul, une remise en question de soi et un esprit de coopération plutôt que d'opposition. 

Le paradis est encore loin....

Les mathématiques, quelle histoire!

 

Il faut aux vérités de la science de belles histoires pour que les hommes s'y attachent. Le mythe, ici, n'est pas là pour entrer en concurrence avec le vrai, mais pour le rattacher à ce à quoi les hommes tiennent et qui les font rêver.Denis Guedj..

Je commence cet article par la citation d'un auteur, Denis Guedj, qui m'a littéralement ouvert les yeux sur la façon dont je voudrais enseigner les mathématiques. J'avais déjà quelques années d'expérience derrière moi lorsque son livre "Le théorème du perroquet" s'est trouvé entre mes mains. Su le fond d'une aventure mystérieuse et passionnante, un philosophe  se prend, petit à petit, de passion pour les mathématiques qu'il croyait à jamais hors de sa compréhension. En découvrant les richesses  de la bibliothèque  de son ami mathématicien, le philosophe reconstruit et raconte à ses neveux la fascinante histoire des mathématiques. Les théorèmes défilent dans cette histoire mêles aux vies de  leurs auteurs, à leurs passions, amours, souffrances. 

En lisant ce roman je me suis demandé: mais pourquoi on ne raconte pas tout cela aux élèves des collèges et lycées dans les cours de maths? Pourquoi pas en prépas? En cycle ingénieur? Il n'est jamais trop tard!  Nous connaissons tous l'image que donnent souvent les mathématiques aux étudiants: trop froides, trop abstraites. On les utilise comme moyen de sélection à l'école et cela ne leur ajoute guerre d'attractivité. "Il faut réussir tes maths si tu veux t'en sortir". Pourquoi ne pas apprendre à les aimer? Et pour cela il faudrait commencer par attirer  de la curiosité. Comment? En puisant dans l'histoire, pourquoi pas? 

Trop "inhumaines", les maths? Si seulement on enseignait ces théorèmes en racontant l'histoire qui les entoure? Le théorème de Weierstrasse. Ça sonne presque comme un nom commun! Mais qui était ce Weierstrasse? Qui étaient tous ces personnages qui ont contribué dans le monde entier, à toutes les époques, à construire un patrimoine intellectuel unique au monde. Un magnifique travail de la pensée humaine qui a traversé toutes les barrières que l'humanité a tant de mal à franchir en général: les siècles, les frontières entre les pays, les cultures si différentes. Si l'on enseignait les mathématiques avec ne serait ce que quelques brins de leur histoire, ça leur donnerait peut être image plus "humaine". 

Cette science,  si parfaitement logique, semble être si loin de tout ce qui compose notre humanité: les sentiments, les passions, la tragédie, le rire. Et pourtant, certaines découvertes ont provoqué des passions les plus fortes, des hommes ont sacrifié jusqu'à leur vie pour quelques formules! Et combien d'anecdotes,  calembours et aventures on peut raconter à l'occasion d'un théorème? 

Tous cela est devenu pour moi une source inépuisable d'inspiration pour glisser une petite histoire, entre deux séries de calculs au tableau. Pas facile, en prépas! Le rythme très soutenu des cours ne laisse presque pas de temps pour "raconter des histoires". Et pourtant, si on essaie...  J'ai pu constater que les élèves apprécient en général une petite pause dans le cours, le temps d'une anecdote, d'un petit portrait d'un mathématicien dont on parle. Quelques petites minutes à peine, mais elles permettent de soufler, de réveiller une attention fatiguée, de détendre l'esprit un court instant. 

J'aime raconter des histoires.Des histoires drôles ou qui font rêver. J'aime voir les yeux des élèves sourire ou briller de curiosité, ne serait ce qu'un moment. Enseigner les maths c'est comme raconter une longue histoire, histoire sans fin. 

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Quelques sites de passionés que je visite, en préparant mes cours:

• ChronoMaths est un site rassemblant pas mal d'informations sur l'histoire des mathématiques
  
• Math93
• L'incontournable Wikipédia

Le trac

Dans une dizaine de jours, je vais commencer un cours sur la théorie de l'information avec les élèves de première année ingénieur. Et comme toujours, à l'approche du jour J du premier amphi, je  commence à ressentir le trac.

C'est un sentiment souvent évoqué par les acteurs de théâtre: une sorte d'angoisse avant de sortir  sur la scène. Et bien je trouve qu'il y a quelque chose  en commun entre le premier instant d'un acteur qui découvre les visages de son public en sortant sur la scène et les premières secondes d'un prof qui commence un cours devant un amphi. 

Rien pourtant ne devrait me troubler à ce point à l'approche de ce cours : j'ai 8 ans d'expérience d'enseignement et ce n'est pas mon premier amphi, ce cours en particulier, je l'ai déjà fait l'année dernière, je sais donc, dans les grandes lignes comment je vais le conduire. Mais rien à faire: j'ai le trac dans le ventre. 

Qu'est ce qui m'angoisse alors? Peut être cette inconnue de taille : la nouvelle promo. Est ce que je vais réussir à les accrocher, à les emmener avec moi, à créer ce lien, invisible mais vital pour le cours entier, entre le prof et ses élèves.  Pour moi, le cours entier, avec ses amphis, ses Tds, ses examens, se joue dans cette première rencontre. Et c'est terriblement angoissant. 

Ce lien très fragile et si précieux qu'un prof crée avec ses élèves est difficile à décrire. On le sent d'instant, quand on a le dos tourné à la classe: soit on a un mur sourd et muet derrière soi, soit on a un public ouvert et réceptif. Il m'est arrivé de me retrouver dans les deux situations à plusieurs reprises. Et à chaque fois après un cours qui n'a pas marché j'avais un grand sentiment d'échec: je n'avais pas été à hauteur. 

Alors comment y arriver? Comment réussir à entraîner une centaine d'inconnus dans l'histoire que je veux leur raconter? Je suis sensée leur apprendre quelque chose.  Donc je dois arriver à les convaincre à me suivre, à  faire suffisamment d'efforts pour s'investir dans cet apprentissage.

 Et là, je me retrouve devant une question fondamentale : Ont ils envie de savoir ce que je sais?   Pourront ils trouver du plaisir  à découvrir quelque chose de nouveau? Sauront ils voir, comme moi, la beauté des maths? 

Et la réponse est... J'en sais rien! Et c'est ce qui fait la terreur et en même temps la beauté de mon métier de prof! 

Et oui, chaque année, j'entre dans l'amphi avec l'estomac noué, le coeur qui bat comme un fou, les mains qui tremblent... jusqu'à ce que je découvre les visages, je repère quelques yeux qui semblent briller de curiosité et je me lance! 

Vivement!