La course à l'infini

"Il est un concept qui corrompt et dérègle tous les autres. Je ne parle pas du Mal, dont l'empire est circonscrit à l'éthique; je parle de l'infini."

J.L. Borges, (1939).

Au Vème siècle avant notre ère le philosophe grec Zénon d'Elée énonçait quelques paradoxes mettant en évidence les contradictions profondes engendrées par les conceptions de l'infini et de l'infiniment petit proposées par les écoles de pensée dominantes de son époque. L'un d'eux est le célèbre paradoxe d'Achille et de la Tortue. Voici l'histoire.

La Tortue vient voir Achille, le grand athlète, et lui propose de disputer une course de 100 mètres avec elle. Achille, sûr de sa victoire, mais beau joueur, accorde une avance de 50 mètres à la malheureuse. Une fois le départ donné, les deux se mettent en route, chacun selon ses moyens. Mais au moment où Achille atteint le milieu de la distance, où la tortue se trouvait au départ, elle a avancé et se trouve devant lui. En continuant ainsi, à chaque fois qu'Achille atteindra la position occupée par la tortue à un instant donné, cette dernière, avancera un peu et sera toujours devant lui. Il est donc impossible à un athlète comme Achille de rattraper une pauvre bête comme la Tortue?

Bien sûr, Zénon était conscient que n'importe qui, sans être Achille, pouvait gagner une course contre une tortue. Et pourtant, son raisonnement construit à partir de l'hypothèse que le temps était infiniment divisible le menait à une contradiction. Pourquoi? Qu'est ce qui manquait à la conception mathématique grecque de cette époque pour pouvoir éliminer le paradoxe?

Supposons pour simplifier qu'Achille court 2 fois plus vite que la Tortue. Combien de temps il lui faut pour rattraper la Tortue si l'on suit le raisonnement de Zénon?

Il lui faudra un temps T pour parcourir les premiers 50 mètres afin d'atteindre la position initiale de la Tortue. Mais alors la Tortue avancera de 25 mètres car elle court deux fois moins vite. Il faudra donc à Achille le temps T/2 pour atteindre la nouvelle position de la Tortue. Si on poursuit ainsi le raisonnement de Zénon, le temps que va courir Achille avant de rattraper la Tortue devrait être

T+T/2+T/4+T/8+T/16+.....T/2^k+....

Le problème c'est que cette somme n'a pas de fin. Elle est infinie. Et c'est là, la clé du mystère! Si les mathématiciens grecques contemporains de Zénon avaient une certaine idée de l'infini et utilisaient cette notion dans les raisonnements, il était inconcevable pour eux qu'une somme infinie de quantités positives puisse avoir une valeur finie!

Il a fallu plusieurs siècles et les contributions des plus grands mathématiciens du monde entier pour pourvoir lever ce paradoxe définitivement.

Il a fallu tout d'abord concevoir le zéro en tant que véritable nombre (vers le VII-ème siècle, en Inde)! Il a fallu des siècles de développement de l'algèbre et de la géométrie au Moyen Orient (VIII-ème-XVII-ème). Il a fallu que Europe se réveille enfin de son long sommeil moyenâgeux et redécouvre lentement les sciences, la philosophie et, entre les deux, les mathématiques et que les plus grands penseurs européens de la renaissance s'attaquent enfin avec ferveur aux problèmes vieux de plusieurs centaines d'années.

C'est donc là, en Europe et surtout en France, autour de XVII-XVIII ème siècles que se termine cette course paradoxale, la course vers l'infini. Après une lente et laborieuse libération de la notion de l'infini de ses aspects métaphysiques et irrationnels. Après la conception de la notion de limite et avec elle, de la convergence. Cauchy, Leibniz, Lagrange, Fermat, Newton, Ricatti, Fermat, Wallis, Pascal, Fourier, Euler et de nombreux autres grands esprits ont contribué à ce développement. Plus tard, au XIXème, le mathématicien allemand Georg Cantor [1845-1918] développera la théorie des ensembles, posant ainsi les fondements des mathématiques modernes et, en autres, de la conception moderne de l'infini.

Mais, est elle vraiment finie, cette course? Pas vraiment. Elle se répète indéfiniment à chaque fois que des jeunes esprits se retrouvent confrontés, à l'école, à cette notion. Car la conception de l'infini n'a, à mon avis, rien d'inné, rien d'intuitif. Bien au contraire, elle révèle en chacun de nous les paradoxes les plus profonds, les plus inconscients, les plus troublants de notre perception du monde qui nous entoure. Comprendre la notion mathématique de l'infini est justement l'excellente occasion à apprendre à faire la différence entre la perception et la conception rationnelle des choses, apprendre la véritable rigueur de pensée.

C'est peut être l'occasion de découvrir à quoi servent vraiement les mathématiques?

Sources: Une histoire des mathématiques de Amy Dahan-Dalmédico , Jeanne Peiffer

Théorie des distributions: rien de plus facile!

Je m'inquiétais dans un récent billet des difficultés que peuvent éprouver mes élèves devant une théorie réputée abstraite. Mais ce matin, je me suis rendue compte, en lisant "Le Canard enchaîné" que je me suis fait du souci pour rien.

Dans un article consacré à la suppression de la taxe professionnelle Le Canard analyse le nouveau dispositif de taxation qui la remplacera. Il cite une explication fort éclairante sur le mode de calcul de cette nouvelle taxe, appelée "Contribution économique territoriale", donnée dans "La Tribune" du 15/12. Je recopie ici, c'est édifiant:

"A partir de 152 500 euros de chiffre d'affaires les entreprises se verront appliquer un taux de 1.5% sur leur valeur ajoutée et bénéficieront simultanément d'un dégrèvement calculé comme la différence entre le montant dû en application du taux de 1.5% et le montant résultant de l'application du barème progressif. "

A coté de cela la théorie des distributions parait d'une simplicité enfantine!

Paradoxe

L'enseignement classique des mathématiques, tel qu'il est fait au colège et lycée, ainsi que le plus souvent à l'Université et dans les classes préparatoires, porte en lui la graine d'une contradiction difficile à résoudre.

On enseigne les mathématiques à l'aide d'exercices et de problèmes dont on connaît la solution et la méthode de résolution, alors que ces mêmes mathématiques devraient servir à résoudre les problèmes dont personne ne connaît encore la solution ni la méthode d'approche.

Ainsi, dès le plus jeune age, on donne à nos élèves une idée complètement fausse des mathématiques, une idée d'un catalogue de problèmes et de méthodes de calcul, plus ou moins abstraits, qu'il faut apprendre pour passer les examens.

Alors que les mathématiques sont une science où on invente, on crée, on se débrouille, on bricole, on retourne les idées sens dessous-dessus et le tout dans la rigueur absolue de la raison. Alors qu'il n'y a qu'une seule et unique méthode en mathématiques, celle de la logique. Le reste est la liberté d'imaginer.

Que faire?

Les distributions: mathématiques abstraites ou appliquées?

En préparant mes cours sur les EDP je suis tombée sur une étude très intéressante de J.-M. Kantor. Elle concerne un épisode de l'histoire récente des mathématiques : l'invention des distributions. Il y a de nombreux enseignements à tirer de cette histoire. Je vais la résumer ici en quelques mots.

Les premières pierres de la théorie des distributions ont été posées par Sergei Sobolev (1908-1989), grand mathématicien russe. C'est en 1934 que Sobolev évoque pour la première fois des solutions généralisées d'une équation aux dérivées partielles hyperbolique. La motivation première de son invention est issue des applications pratiques des équations différentielles qu'il étudie. Dans les travaux qui ont suivi entre 1935 et 1939 Sobolev définit la notion de fonctions généralisées, indépendamment des équations différentielles, comme des fonctionnelles linéaires et continues. Il développe les premières propriétés de ces nouveaux objets mathématiques. Et puis, plus rien pendant dix ans. Pendant cette période Sobolev a disparu de la scène scientifique en laissant la théorie des distributions inachevée. On apprendra plus tard qu'entre 1943 et 1953 Sobolev, comme beaucoup de scientifiques à l'Est et à l'Ouest, a travaillé sur le projet de la bombe atomique.

C'est en France, après la guerre, que les idées de Sobolev ont été reprises par Laurent Schwartz, élève de Haramard. Il a un regard tout à fait différent sur l'idée de fonctions généralisées. Il y voit l'occasion d'appliquer à l'analyse toute la théorie des espaces vectoriels topologiques, de marier enfin pour de bon l'algèbre et l'analyse. Grâce à cette idée dé génie, Laurent Schwartz complète entre 1945 et 1950 la construction de la théorie des distributions, en y définissant en particulier la transformée de Fourier. Le théorème des noyaux, annoncé au Congrès International de 1950 à Cambridge lui vaut la médaille Fields, la plus haute distinction scientifique pour les mathématiciens.

Lorsque la médaille Fields a été décernée à Laurent Schwarz pour le développement de la théorie des distributions, le nom de Sobolev n'a même pas été évoqué dans les discours. La "paternité" de cette invention a été reconnue à Laurent Schwartz. Il a fallu attendre jusqu'aux années 60 pour que le rôle fondamental joué par Sobolev dans cette découverte soit enfin reconnu.

L'un des enseignement de cette histoire concerne deux visions différentes des mathématiques dont la théorie des distributions a profité à sa naissance. La première est ici représentée par l'école mathématique russe. Les mathématiciens russes ont toujours eu le souci de développer des théories pour le bien commun, pour le progrès de l'humanité. La valeur principale des mathématiques était pour eux dans leur capacité à résoudre des problèmes concrets de la vie, des sciences, des techniques. C'est dans cet esprit que les solutions généralisées des équations différentielles ont été inventées. La seconde vision est apportée ici par l'école mathématique française, imprégnée au XXème siècle par les travaux de Bourbaki. Selon Jacobi, les mathématiques servent surtout " pour l'honneur de l'esprit humain". Leur force principale est l'universalité, la généralité. C'est dans cet esprit qu'ont été entrepris de grands travaux de recherche pour "algébriser l'analyse" (expression de J.-M. Kantor) et dont font partie les travaux de Laurent Schwartz sur les distributions.

Ainsi cette histoire, parmi tant d'autres!, nous donne au moins deux réponses à la question que j'entends si souvent de la part de mes élèves: "mais à quoi ça sert, toutes ces maths? ". Ca peut servir à résoudre un tas de problèmes différents, allant d'un moteur de recherche sur Internet, à la compression des images, en passant par la construction de ponts, d'avions, de voitures. Et ça sert aussi à donner toute sa force à l'esprit dans son insatiable envie d'inventer, de créer, de progresser.

Mais il y a des choses auxquelles les mathématiques ne peuvent et ne doivent pas servir, malgré tendances et les pratiques courantes:

• les mathématiques ne servent pas à acheter les tomates au marché
• les mathématiques ne doivent pas servir à trier les têtes des jeunes dans les lycées

J'en reparlerai surement un jour...

Les mathématiques responsables de la crise financière: "qu'on leur coupe la tête!"

Je viens de découvrir dans "Le Monde" daté du 5 décembre une bien curieuse analyse du phénomène qui préoccupe depuis un moment des universitaires de tous les domaines scientifiques en France, et des mathématiciens en particulier. Il'agit du désintérêt apparent des étudiants pour les disciplines scientifiques en général. Les mathématiques en France commencent à ressentir également une perte significative des effectifs dan les formations de niveau master et plus. Oui, en effet, il y a de moins en moins d'étudiants qui se décident de se lancer dans les formations débouchant sur les métiers de l'enseignement et recherche en mathématiques. Mais pourquoi? L'auteur de l'article expédie rapidement la liste des causes déjà plus ou moins connues :

"Cursus long et difficile, incertitude sur les futures ouvertures de postes dans la recherche publique et l'enseignement supérieur, salaires médiocres... les écueils ne manquent pas".

Et comme si tout cela n'était que trop banal, l'auteur de l'article cite M. Jean-Pierre Bourguignon, directeur de l'Institut des hautes études scientifiques (IHES):

"Il y a chez les jeunes une vraie interrogation sur la manière dont la science au sens large façonne la société et sur la manière dont la société a, ou n'a pas, le contrôle sur ces changements. C'est en somme une question d'acceptabilité de la science."

Alors les mathématiques seraient moins acceptables de nos jours, en tout cas pour certains, car elles seraient responsables de la crise financière! Ça, c'est intéressant! Le voilà donc, le coupable! Le mathématicien fou qui, depuis son sombre bureau, a conçu ce plan diabolique! C'est lui qui a eu cette idée formidable de vendre des crédits par millions aux familles insolvables! Lui qui, tel un sorcier, un mijoté dans ces marmites des recettes bien fumeuses pour cacher les crédits moralement pourris dans de bons produits financiers, à l'air tout à fait honnête et respectable. Mais qu'on lui coupe la tête!

Est ce là, la cause de désaffection pour les mathématiques de jeunes et purs étudiants? Seraient ils trop dégoûtés par cette science traitresse et immorale qui s'est vendue aux méchants capitalistes et sert à leur côtés à appauvrir le monde? C'est curieux, car l'armée et l'industrie militaire ne connaissent pas de telles fuites de candidats désireux d'apporter leur part de labeur à l'extermination de l'humanité.

D'ailleurs, l'auteur lui même doute que la cris financière y soit pour quelque chose, en soulignant que ce sont justement des formations en mathématiques financières qui ont un grand succès en ce moment. Il en profite tout de même au passage pour citer une suggestion pour le moins surprenante de Philippe Camus, président d'Alcatel-Lucent:

"il serait bénéfique que les mathématiciens prennent l'initiative de se doter d'un organe qui serait en quelque sorte leur autorité morale. Après tout, plusieurs disciplines scientifiques disposent d'un comité d'éthique à même d'apprécier, voire de corriger, leur impact sur la société".

C'est comme si on demandait à la profession d'artisans couteliers de moraliser la fabrication de couteaux de cuisine sous prétexte qu'un couteau de cuisine peut blesser celui qui l'utilise ou, pire encore!, servir à tuer son prochain. Et ça, voyez vous, c'est immoral! Le résultat le plus logique serait que le couteliers se mettent à fabriquer des couteaux qui ne coupent pas.

La peur de l'abstrait

Une fois de plus j'observe cette année un curieux phénomène dans l'approche qu'ont mes élèves des mathématiques. J'enseigne en ce moment un cours sur les équations différentielles. Une première partie de ce cours est consacrée aux méthodes classiques de résolution. On y apprend à construire des solutions des équations différentielles sous forme de séries ou d'intégrales de Fourier. J'ai observé que, petit à petit, après quelques premières séances, les élèves prennent confiance et assimilent relativement bien le cours.

Mais voilà que, depuis deux semaines, nous avons abordé une deuxième partie du cours, consacrée à la théorie des distributions. Une théorie qui permet d'avoir un regard plus global sur la notion de la dérivée et sur les équations différentielles. Il s'agit de changer de formalisme. De remplacer le cadre d'analyse classique, basée sur la notion de la limite en un point, par celui de l'analyse fonctionnelle qui permet de travailler avec les outils de topologie des espaces vectoriels.

Et là, j'ai senti un changement radical dans l'attitude des élèves vis à vis du cours. J'ai l'impression que le fait d'évoquer un formalisme plus abstrait provoque chez eux un refus d'adhésion, un blocage. Je sens qu'ils ne veulent pas me suivre dans cette nouvelle voie. Mais pourquoi?

A première vue, on pourrait dire que ce qui est abstrait a pour premier effet de repousser l'esprit. En effet, faire abstraction de la nature physique ou autre des objets et des phénomènes étudiés nous prive de nos repères sensoriels, de nos intuitions empiriques. Cela peut ressembler au fait d'être privé de vue brusquement pour quelqu'un qui voit. Mais ces mêmes repères, ces intuitions empiriques, le plus souvent inconscientes, nous empêchent souvent de voir au-delà de ce qui est palpable.

Or, c'est en faisant l'abstraction de la nature des objets que nous libérons notre pensée pour voir enfin les similitudes, les généralités et les propriétés communes dans les choses très différentes. Par exemple, une fonction mathématique permet de représenter toute relation, toute correspondance. Ainsi, la distance qui me sépare du point d'arrivée lors d'une promenade et la température de l'air dans une pièce sont des fonctions. Alors la vitesse de marche ou les variations de la température sont des dérivées des fonctions respectives et obéissent aux mêmes lois mathématiques, peuvent être analysées selon les mêmes règles de raisonnement.

Certes, l'abstraction demande un effort intellectuel et un temps d'adaptation, pendant lequel notre esprit crée de nouveaux repères nous permettant au final d'être à l'aise dans ce nouveau monde, peuplé de concepts au lieu d'objets palpables. Une fois cette adaptation passée, nous ne nous apercevons même pas que nous manipulons certains objets abstraits. Ainsi, mes élèves qui trouvent les distributions "trop abstraites" ne réalisent même plus que les fonctions, les dérivées, les séries sont des notions abstraites. Elles leur sont si familières, qu'elles passent pour presque réelles.

Donc ce n'est pas l'abstrait en soi qui repousse, c'est probablement cette phase intermédiaire d'adaptation, pendant laquelle on a l'impression de plus rien comprendre.

Enseigner et donc apprendre ce qui est abstrait est aussi plus difficile. Il ne suffit pas de répéter, mimer ce qui est dit par l'enseignant, comme on apprend une méthode de résolution d'un certain type de problèmes. Il ne suffit pas d'apprendre par coeur, comme on apprend la table de multiplication ou une formule. Pour s'approprier un nouveau niveau d'abstraction l'élève doit faire le chemin tout seul. Le rôle du professeur est de l'accompagner, lui indiquer la marche à suivre, dégager la route. Tant que la construction intérieure de l'abstraction n'est pas véritablement faite, on reste devant les mathématiques comme devant un tableau abstrait: on ne voit vraiment pas ce que toutes ces couleurs sont sensées représenter. On ne peut le voir que si on a réussi à parcourir le même chemin d'abstraction que l'artiste.

Les mathématiques, quelle histoire!

 

Il faut aux vérités de la science de belles histoires pour que les hommes s'y attachent. Le mythe, ici, n'est pas là pour entrer en concurrence avec le vrai, mais pour le rattacher à ce à quoi les hommes tiennent et qui les font rêver.Denis Guedj..

Je commence cet article par la citation d'un auteur, Denis Guedj, qui m'a littéralement ouvert les yeux sur la façon dont je voudrais enseigner les mathématiques. J'avais déjà quelques années d'expérience derrière moi lorsque son livre "Le théorème du perroquet" s'est trouvé entre mes mains. Su le fond d'une aventure mystérieuse et passionnante, un philosophe  se prend, petit à petit, de passion pour les mathématiques qu'il croyait à jamais hors de sa compréhension. En découvrant les richesses  de la bibliothèque  de son ami mathématicien, le philosophe reconstruit et raconte à ses neveux la fascinante histoire des mathématiques. Les théorèmes défilent dans cette histoire mêles aux vies de  leurs auteurs, à leurs passions, amours, souffrances. 

En lisant ce roman je me suis demandé: mais pourquoi on ne raconte pas tout cela aux élèves des collèges et lycées dans les cours de maths? Pourquoi pas en prépas? En cycle ingénieur? Il n'est jamais trop tard!  Nous connaissons tous l'image que donnent souvent les mathématiques aux étudiants: trop froides, trop abstraites. On les utilise comme moyen de sélection à l'école et cela ne leur ajoute guerre d'attractivité. "Il faut réussir tes maths si tu veux t'en sortir". Pourquoi ne pas apprendre à les aimer? Et pour cela il faudrait commencer par attirer  de la curiosité. Comment? En puisant dans l'histoire, pourquoi pas? 

Trop "inhumaines", les maths? Si seulement on enseignait ces théorèmes en racontant l'histoire qui les entoure? Le théorème de Weierstrasse. Ça sonne presque comme un nom commun! Mais qui était ce Weierstrasse? Qui étaient tous ces personnages qui ont contribué dans le monde entier, à toutes les époques, à construire un patrimoine intellectuel unique au monde. Un magnifique travail de la pensée humaine qui a traversé toutes les barrières que l'humanité a tant de mal à franchir en général: les siècles, les frontières entre les pays, les cultures si différentes. Si l'on enseignait les mathématiques avec ne serait ce que quelques brins de leur histoire, ça leur donnerait peut être image plus "humaine". 

Cette science,  si parfaitement logique, semble être si loin de tout ce qui compose notre humanité: les sentiments, les passions, la tragédie, le rire. Et pourtant, certaines découvertes ont provoqué des passions les plus fortes, des hommes ont sacrifié jusqu'à leur vie pour quelques formules! Et combien d'anecdotes,  calembours et aventures on peut raconter à l'occasion d'un théorème? 

Tous cela est devenu pour moi une source inépuisable d'inspiration pour glisser une petite histoire, entre deux séries de calculs au tableau. Pas facile, en prépas! Le rythme très soutenu des cours ne laisse presque pas de temps pour "raconter des histoires". Et pourtant, si on essaie...  J'ai pu constater que les élèves apprécient en général une petite pause dans le cours, le temps d'une anecdote, d'un petit portrait d'un mathématicien dont on parle. Quelques petites minutes à peine, mais elles permettent de soufler, de réveiller une attention fatiguée, de détendre l'esprit un court instant. 

J'aime raconter des histoires.Des histoires drôles ou qui font rêver. J'aime voir les yeux des élèves sourire ou briller de curiosité, ne serait ce qu'un moment. Enseigner les maths c'est comme raconter une longue histoire, histoire sans fin. 

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Quelques sites de passionés que je visite, en préparant mes cours:

• ChronoMaths est un site rassemblant pas mal d'informations sur l'histoire des mathématiques
  
• Math93
• L'incontournable Wikipédia